ОБ ОДНОМ ЧИСЛЕННОМ МЕТОДЕ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЗАДАЧ ИММУНОЛОГИИ 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), boikov@pnzgu.ru
Захарова Юлия Фридриховна, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru
Дмитриева Алла Аркадьевна, старший преподаватель, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), math@pnzgu.ru

519.6

Актуальность и цели. Исследование математических моделей иммунологии является в настоящее время активно развивающимся направлением, находящимся на стыке медицины, биологии и математики. Предложены многочисленные модели развития реакции иммунной системы на различные внешние воздействия, из которых наиболее близкие к клинической практике модели Марчука и их обобщения. Модели описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений высокого порядка с различными запаздываниями и их решение в аналитической форме невозможно. Поэтому актуальной является разработка численных методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений с несколькими запаздываниями в нелинейных операторах.
Материалы и методы. Вычислительные схемы основаны на предложенном в работе экспоненциальном представлении решения, позволяющего построить итерационный метод с неотрицательными приближениями на каждом шаге.
Результаты. Предложен итерационный метод решения систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздываниями, моделирующих иммунные реакции на вирусные и бактериальные заболевания. Исследованы способы проведения различных терапий на примере базовой (простейшей) модели.
Выводы. Построен приближенный метод исследования математических моделей иммунологии, имеющий неотрицательное приближение на каждом шаге итерационного процесса. Метод может быть использован при исследовании аналогичных моделей техники, экологии и экономики (модели типа Вольтерра).

математические модели иммунологии, численные методы, итерационные методы.

1. Марчу к, Г. И. Математические модели в иммунологии. Вычислительные методы и эксперименты / Г. И. Марчук. – М. : Наука, 1991. – 304 с.
2. Nowak, M. A. Virus dynamics. Mathematical principles of immunology and virology / M. A. Nowak, R. M. May. – Oxford University Press, 2000. – 237 p.
3. Murray, J. D. Mathematical Biology / J. D. Murray//I. An Introduction. – 3rd edition.– Springer,2002.– 576 р.
4. Murray, J. D. Mathematical Biology / J. D. Murray // II. Spatial Models and Biomedical Applications. – 3rd edition. – Springer, 2003. – 830 p.
5. Wodarz, D. Killer Cell Dynamics Mathematical and Computational Approaches to Immunology / D. Wodarz. – Springer Science + Business Media, LLC, 2007. – 220 p.
6. Бернет, Ф. М. Клеточная иммунология : пер. с англ. / Ф. М. Бернет. – М. :Мир, 1971. – 542 c.
7. Болоду рина, И. П. Оптимальное управление динамикой взаимодействия иммунной системы человека с инфекционными заболеваниями / И. П. Болодурина, Ю. П. Луговскова // Вестник Самарского государственного университета. Сер. Естественнонаучная. –2009.–№ 8(74).–С.138–153
8. Романюха,А.А. Анализ данных и моделирование инфекционных заболеваний/А.А.Романюха,С. Г. Руднев,С.М.Зуев//Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования.Т.2.Математическое моделирование/под ред.В.П.Дымникова.-М.:Наука,2005.-С.352-404.
9. Белых, Л. Н. Анализ математических моделей в иммунологии / Л. Н. Белых ; под ред. Г. И. Марчука. – М. : Наука, 1988. – 190 с.
10. Бойков, И. В. Устойчивость моделей противовирусного и противобактериального иммунного ответа / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2008. – № 4. – C. 47–61.
11. Бойков, И. В. Устойчивость решений дифференциальных уравнений /И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПензГУ, 2008. – 244 с.
12. Бойков, И. В. Численные методы моделирования иммунного ответа на внешнее воздействие / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, А. А. Дмитриева // Математическое и компьютерное моделирование естественнонаучных и социальных проблем :сб. ст. V Междунар. науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. – С. 101–109.